結論から申し上げますと、給湯器のリモコンの電源はずっとつけたままでも、こまめに消してもどちらも問題ございません。

給湯器は機種により多少異なりますが、電源が入っていても水が流れない限り点火しない仕組みになっている為、火災などの危険性は低いと考えられます。

また、リモコンをつけているだけではガス代はかかりません。電気代はかかりますが、月に数十円程度です。

ただ、注意が必要なのはバランス釜です。バランス釜は種火によって点火する為、ずっとつけていると種火がついたままになるので火災の危険性も高くなります。つけっぱなしは避けましょう。